Caleidoscópio
26/05/2018

Quem não gostaria de ganhar na Mega-Sena? Sem dúvidas, é tentadora a perspectiva de pagar alguns trocados em um bilhete e ser premiado em milhões de reais. Todos sabemos, no entanto, que as chances de “tirar a sorte grande” num sorteio como esse são baixíssimas. Naturalmente, surgem uns e outros argumentando que há “estratégias” capazes de aumentar essas chances... será que dá mesmo?

Números espalhados

Imagine que André e Bruna vão jogar na Mega-Sena. Ele joga os números 11, 12, 13, 14, 15 e 16. Ela aposta em 31, 23, 41, 29, 37 e 43. Quem tem mais chances de ganhar?

Se você respondeu Bruna: vamos com calma. De fato, costumamos achar que jogar números mais “espalhados” na cartela aumenta as nossas chances de sucesso. O que a Matemática nos diz sobre isso?

O mecanismo da loteria

Se você não está habituado, aqui vai uma breve explicação sobre o jogo da Mega-Sena. Você compra uma cartela contendo 60 “dezenas” - que são, simplesmente, os 60 primeiros números naturais: 1, 2, 3, …, 58, 59, 60. Um jogo “padrão” consiste em escolher seis desses números. Você então cobre, com caneta, seis números à sua escolha, entrega a cartela com o seu nome, e torce para dar certo.

No dia do sorteio, há 60 bolas enumeradas (de 1 a 60). Essas bolas são agitadas dentro de um globo; uma pessoa vai e seleciona, ao acaso, seis delas. Se os seis números coincidirem com os seis que você jogou, parabéns! você foi sorteado, e receberá um prêmio em dinheiro (é claro que é possível mais de uma pessoa ter feito o jogo vencedor, e nesse caso o dinheiro é repartido entre elas). Há também os prêmios menores, para quem acertou, por exemplo, quatro ou cinco dos seis números sorteados, mas vamos deixar isso de lado e focar no tão sonhado prêmio máximo (acertar exatamente os seis números).

Pensando em probabilidades

A pergunta mais óbvia que se pode fazer sobre um sorteio como esse é: se eu fizer uma aposta em seis números, quais são as chances de exatamente eles serem sorteados?

Note que, se você conhecesse todos os possíveis resultados do sorteio, a resposta seria um tanto quanto intuitiva: as suas chances são de 1 em “x”, onde “x” é a quantidade de resultados possíveis. Estamos supondo que o sorteio seja completamente honesto, de modo que todos esses resultados são igualmente prováveis.

Pois bem, não entraremos em detalhes técnicos, mas, se você já estudou um pouco de análise combinatória, talvez saiba que esse é um problema clássico de contagem de conjuntos. Os cálculos mostram que o valor de “x” que estamos procurando é exatamente igual a 50.063.860. Isso significa que existem exatamente 50.063.860 formas de escolher seis números distintos dentre os 60 primeiros números naturais. Em resumo, as suas chances de ganhar (jogando uma única vez) são de aproximadamente 1 em 50 milhões. De fato, é muito improvável.

Exercitando a imaginação

Agora, vamos pensar em um cenário hipotético. Imagine que o sorteio da Mega-Sena ocorresse da seguinte forma: você compra uma cartela contendo a lista de todas as 50.063.860 combinações dos 60 primeiros números naturais. Ou seja, na cartela vai haver uma linha com a combinação 1, 2, 3, 4, 5, 6, depois outra com a combinação 1, 2, 3, 4, 5, 7, e assim sucessivamente, até esgotar todas as combinações começando com 1, 2, 3, 4, 5; depois, você terá 1, 2, 3, 4, 6, 7, depois 1, 2, 3, 4, 6, 8, e assim sucessivamente… enfim, seria uma cartela gigantesca, mas o que importa é que entre a primeira e a 50.063.860a linha você teria todas as combinações possíveis. Você seleciona uma linha (isto é, uma combinação), marca à caneta, entrega com seu nome e começa a torcer. No dia do sorteio, há 50.063.860 bolas, cada uma contendo uma das possíveis combinações de seis números. Essas bolas são agitadas (muito bem agitadas!) num globo e uma pessoa vai e seleciona, ao acaso, uma delas. Se os seis números da bola escolhida forem iguais aos seis da linha em que você apostou, parabéns! Você foi sorteado.

Agora, pare pra pensar. Qual é a diferença entre o nosso mecanismo hipotético e o mecanismo real da Mega-Sena? Ora, você dirá, a diferença é que no seu mecanismo hipotético nós precisaríamos desmatar toda a Amazônia só para ter papel suficiente para imprimir as cartelas.

Bem observado. Mas não é disso que estou falando. Embora seja tecnicamente impraticável, esse modelo de sorteio é perfeitamente análogo ao que ocorre na Mega-Sena da vida real. Em ambos os casos, você não aposta em um número: você aposta em um conjunto de seis números, e você recebe o prêmio (máximo) se o conjunto de seis números sorteado for igual ao conjunto de seis números em que você apostou. Em ambas as situações, as suas chances de ganhar são de 1 em 50.063.860, pois você terá apostado em 1 combinação dentre 50.063.860 possíveis.

Brincando um pouco mais...

Imaginemos um terceiro modelo de Mega-Sena. Você compra uma cartela contendo a lista de todos os números naturais entre 1 e 50.063.860. Você marca um dos números, entrega com seu nome, começa a torcer e, no dia do sorteio, haverá 50.063.860 bolas enumeradas de 1 a 50.063.860. As bolas serão muito bem agitadas em um globo e uma pessoa escolherá, ao acaso, uma delas. Se o número ali escrito for exatamente igual ao que você escolheu, parabéns! Você foi sorteado.

Se você conseguiu entender o caso anterior, deve ser simples aceitar que este sorteio também é perfeitamente análogo ao que ocorre na Mega-Sena. Existem 50.063.860 resultados possíveis e você aposta em apenas um deles. A única diferença é que, no primeiro modelo hipotético, assim como na vida real, cada um dos possíveis resultados é um conjunto de seis números entre 1 e 60, e, neste novo sistema, cada resultado é simplesmente um número entre 1 e 50.063.860. Note que a analogia funciona justamente porque existem exatamente 50.063.860 formas de escolher seis números (distintos) entre 1 e 60!

Mas e daí?

O objetivo de propor essas analogias é tornar evidente um fato aparentemente óbvio, mas que o senso comum facilmente deixa de lado: todos os 50.063.860 resultados são igualmente prováveis. Isso significa que as chances de ser sorteado o conjunto {11, 12, 13, 14, 15, 16} são idênticas às do conjunto {31, 23, 41, 29, 37, 43}. Nós temos a impressão de que a segunda aposta é “mais aleatória”, o que quer que isso signifique, e tendemos a achar que é “muito mais difícil” a primeira ser a sorteada. Essa impressão, no entanto, é definitivamente errada. Na analogia das cartelas contendo todas as combinações, teremos exatamente uma linha na cartela com o conjunto {11, 12, 13, 14, 15, 16} e uma com o conjunto {31, 23, 41, 29, 37, 43}. No momento do sorteio, cada um deles corresponderá a exatamente uma bola entre as que serão sorteadas, tendo uma chance em 50.063.860.

Em resumo: não, apostar em números mais “distribuídos” não aumenta de forma alguma as suas chances de sucesso. Pensar que isso ocorre é uma falsa impressão do nosso senso comum. No entanto, há um simples motivo pelo qual temos essa impressão, e pode-se entender que ela surge de uma confusão de conceitos - ou melhor, de uma comparação mal feita. Em um próximo texto, exploraremos do que se trata essa confusão. Aguarde!



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