Caleidoscópio
29/05/2018

Uma breve retomada

No texto anterior, partimos de uma situação em que duas pessoas, André e Bruna, fazem duas apostas diferentes na Mega-Sena: ele faz o jogo {11, 12, 13, 14, 15 e 16}, e ela, {31, 23, 41, 29, 37, 43}. Comentamos que, embora a nossa intuição talvez nos leve a achar que a aposta de André é mais improvável por se tratar de uma sequência de números consecutivos, o que ocorre é que, na verdade, ambas as apostas têm a mesma chance de sucesso, já que cada uma delas representa um resultado entre 50.063.860 resultados possíveis e igualmente prováveis.

Sério mesmo?

A impressão de que {11, 12, 13, 14, 15, 16} é mais improvável do que {31, 23, 41, 29, 37, 43} se deve ao seguinte fato: o primeiro conjunto é um representante de uma “classe” extremamente seleta - a dos conjuntos formados por seis números consecutivos. Nosso cérebro imediatamente identifica esse padrão e atribui algo de “especial” a essa aposta, enquanto a segunda, em princípio, parece não ter nenhuma propriedade digna de nota, sendo aceita como algo genuinamente “aleatório”.

No entanto, eu poderia argumentar que {31, 23, 41, 29, 37, 43} representa uma classe muito mais seleta que a primeira: a das apostas formadas exclusivamente por números primos sucessivos (isto é, que aparecem “juntos” na lista dos números primos). A única diferença é que esse padrão é menos evidente. Cuidado: o que se quer dizer com isso não é que essas duas sequências são improváveis por ambas serem “especiais” -- na verdade, para qualquer aposta em que você pensasse, eu poderia encontrar um padrão mirabolante e argumentar sobre o quão especial essa aposta é. O ponto é que as possíveis relações entre os números que compõem o conjunto são absolutamente irrelevantes: pela forma como o sorteio é feito, todas as apostas possíveis têm a mesma chance de ganhar, como já foi dito antes.

Jogando aos montes

Já vimos que a resposta para a situação proposta no início do texto é: ambos têm a mesma chance - 1 em 50.063.860. Isso porque cada um fez apenas uma aposta dentre todas as possíveis. Diferente seria se André apostasse em todas as possíveis combinações de números consecutivos e Bruna apostasse em todos os jogos “espalhados” (isto é, não consecutivos). Para que isso ocorresse, seria necessário que ele fizesse 55 apostas (pois existem 55 apostas possíveis formadas por números consecutivos), e ela, todas as demais 50.063.805 apostas. Sendo assim, é evidente quem tem maior probabilidade de sucesso. As chances de Bruna ganhar são maiores na mesma medida em que ela comprou mais bilhetes. E a situação seria exatamente a mesma se ele tivesse feito quaisquer 55 apostas distintas e ela, todas as apostas restantes. Novamente, o que importa não são os jogos em si: você aumenta as suas chances aumentando o número de apostas diferentes que você fez.

No fundo, desde o início, o que está em jogo é a diferença entre as perguntas:

“O que é mais provável: ser sorteada alguma combinação de números consecutivos ou alguma combinação de números não consecutivos?”

e

“O que é mais provável: ser sorteada a combinação 11, 12, 13, 14, 15, 16 ou a combinação 31, 23, 41, 29, 37, 43?”

Como vimos, a resposta para a primeira pergunta é: uma combinação de números não consecutivos é mais provável - 50.063.805 chances em 50.063.860 versus 55 em 50.063.860. Já para a segunda pergunta: ambas as apostas são igualmente prováveis - 1 em 50.063.860, nos dois casos.

Resumindo: considerando que você faça sempre jogos simples (ou seja, aposte em 6 números), só há uma forma de aumentar as suas chances de ganhar na Mega-Sena: comprar mais bilhetes (e fazer jogos diferentes entre si, é claro). O problema é que, a menos que você esteja disposto a gastar uma boa grana, suas chances continuarão sendo de um em vários milhões...



26/05/2018

Quem não gostaria de ganhar na Mega-Sena? Sem dúvidas, é tentadora a perspectiva de pagar alguns trocados em um bilhete e ser premiado em milhões de reais. Todos sabemos, no entanto, que as chances de “tirar a sorte grande” num sorteio como esse são baixíssimas. Naturalmente, surgem uns e outros argumentando que há “estratégias” capazes de aumentar essas chances... será que dá mesmo?

Números espalhados

Imagine que André e Bruna vão jogar na Mega-Sena. Ele joga os números 11, 12, 13, 14, 15 e 16. Ela aposta em 31, 23, 41, 29, 37 e 43. Quem tem mais chances de ganhar?

Se você respondeu Bruna: vamos com calma. De fato, costumamos achar que jogar números mais “espalhados” na cartela aumenta as nossas chances de sucesso. O que a Matemática nos diz sobre isso?

O mecanismo da loteria

Se você não está habituado, aqui vai uma breve explicação sobre o jogo da Mega-Sena. Você compra uma cartela contendo 60 “dezenas” - que são, simplesmente, os 60 primeiros números naturais: 1, 2, 3, …, 58, 59, 60. Um jogo “padrão” consiste em escolher seis desses números. Você então cobre, com caneta, seis números à sua escolha, entrega a cartela com o seu nome, e torce para dar certo.

No dia do sorteio, há 60 bolas enumeradas (de 1 a 60). Essas bolas são agitadas dentro de um globo; uma pessoa vai e seleciona, ao acaso, seis delas. Se os seis números coincidirem com os seis que você jogou, parabéns! você foi sorteado, e receberá um prêmio em dinheiro (é claro que é possível mais de uma pessoa ter feito o jogo vencedor, e nesse caso o dinheiro é repartido entre elas). Há também os prêmios menores, para quem acertou, por exemplo, quatro ou cinco dos seis números sorteados, mas vamos deixar isso de lado e focar no tão sonhado prêmio máximo (acertar exatamente os seis números).

Pensando em probabilidades

A pergunta mais óbvia que se pode fazer sobre um sorteio como esse é: se eu fizer uma aposta em seis números, quais são as chances de exatamente eles serem sorteados?

Note que, se você conhecesse todos os possíveis resultados do sorteio, a resposta seria um tanto quanto intuitiva: as suas chances são de 1 em “x”, onde “x” é a quantidade de resultados possíveis. Estamos supondo que o sorteio seja completamente honesto, de modo que todos esses resultados são igualmente prováveis.

Pois bem, não entraremos em detalhes técnicos, mas, se você já estudou um pouco de análise combinatória, talvez saiba que esse é um problema clássico de contagem de conjuntos. Os cálculos mostram que o valor de “x” que estamos procurando é exatamente igual a 50.063.860. Isso significa que existem exatamente 50.063.860 formas de escolher seis números distintos dentre os 60 primeiros números naturais. Em resumo, as suas chances de ganhar (jogando uma única vez) são de aproximadamente 1 em 50 milhões. De fato, é muito improvável.

Exercitando a imaginação

Agora, vamos pensar em um cenário hipotético. Imagine que o sorteio da Mega-Sena ocorresse da seguinte forma: você compra uma cartela contendo a lista de todas as 50.063.860 combinações dos 60 primeiros números naturais. Ou seja, na cartela vai haver uma linha com a combinação 1, 2, 3, 4, 5, 6, depois outra com a combinação 1, 2, 3, 4, 5, 7, e assim sucessivamente, até esgotar todas as combinações começando com 1, 2, 3, 4, 5; depois, você terá 1, 2, 3, 4, 6, 7, depois 1, 2, 3, 4, 6, 8, e assim sucessivamente… enfim, seria uma cartela gigantesca, mas o que importa é que entre a primeira e a 50.063.860a linha você teria todas as combinações possíveis. Você seleciona uma linha (isto é, uma combinação), marca à caneta, entrega com seu nome e começa a torcer. No dia do sorteio, há 50.063.860 bolas, cada uma contendo uma das possíveis combinações de seis números. Essas bolas são agitadas (muito bem agitadas!) num globo e uma pessoa vai e seleciona, ao acaso, uma delas. Se os seis números da bola escolhida forem iguais aos seis da linha em que você apostou, parabéns! Você foi sorteado.

Agora, pare pra pensar. Qual é a diferença entre o nosso mecanismo hipotético e o mecanismo real da Mega-Sena? Ora, você dirá, a diferença é que no seu mecanismo hipotético nós precisaríamos desmatar toda a Amazônia só para ter papel suficiente para imprimir as cartelas.

Bem observado. Mas não é disso que estou falando. Embora seja tecnicamente impraticável, esse modelo de sorteio é perfeitamente análogo ao que ocorre na Mega-Sena da vida real. Em ambos os casos, você não aposta em um número: você aposta em um conjunto de seis números, e você recebe o prêmio (máximo) se o conjunto de seis números sorteado for igual ao conjunto de seis números em que você apostou. Em ambas as situações, as suas chances de ganhar são de 1 em 50.063.860, pois você terá apostado em 1 combinação dentre 50.063.860 possíveis.

Brincando um pouco mais...

Imaginemos um terceiro modelo de Mega-Sena. Você compra uma cartela contendo a lista de todos os números naturais entre 1 e 50.063.860. Você marca um dos números, entrega com seu nome, começa a torcer e, no dia do sorteio, haverá 50.063.860 bolas enumeradas de 1 a 50.063.860. As bolas serão muito bem agitadas em um globo e uma pessoa escolherá, ao acaso, uma delas. Se o número ali escrito for exatamente igual ao que você escolheu, parabéns! Você foi sorteado.

Se você conseguiu entender o caso anterior, deve ser simples aceitar que este sorteio também é perfeitamente análogo ao que ocorre na Mega-Sena. Existem 50.063.860 resultados possíveis e você aposta em apenas um deles. A única diferença é que, no primeiro modelo hipotético, assim como na vida real, cada um dos possíveis resultados é um conjunto de seis números entre 1 e 60, e, neste novo sistema, cada resultado é simplesmente um número entre 1 e 50.063.860. Note que a analogia funciona justamente porque existem exatamente 50.063.860 formas de escolher seis números (distintos) entre 1 e 60!

Mas e daí?

O objetivo de propor essas analogias é tornar evidente um fato aparentemente óbvio, mas que o senso comum facilmente deixa de lado: todos os 50.063.860 resultados são igualmente prováveis. Isso significa que as chances de ser sorteado o conjunto {11, 12, 13, 14, 15, 16} são idênticas às do conjunto {31, 23, 41, 29, 37, 43}. Nós temos a impressão de que a segunda aposta é “mais aleatória”, o que quer que isso signifique, e tendemos a achar que é “muito mais difícil” a primeira ser a sorteada. Essa impressão, no entanto, é definitivamente errada. Na analogia das cartelas contendo todas as combinações, teremos exatamente uma linha na cartela com o conjunto {11, 12, 13, 14, 15, 16} e uma com o conjunto {31, 23, 41, 29, 37, 43}. No momento do sorteio, cada um deles corresponderá a exatamente uma bola entre as que serão sorteadas, tendo uma chance em 50.063.860.

Em resumo: não, apostar em números mais “distribuídos” não aumenta de forma alguma as suas chances de sucesso. Pensar que isso ocorre é uma falsa impressão do nosso senso comum. No entanto, há um simples motivo pelo qual temos essa impressão, e pode-se entender que ela surge de uma confusão de conceitos - ou melhor, de uma comparação mal feita. Em um próximo texto, exploraremos do que se trata essa confusão. Aguarde!



02/04/2018

É difícil, eu sei. Você passa a vida inteira ouvindo que não se pode tirar raiz quadrada de números negativos, e no Ensino Médio chega um belo dia em que o professor escreve na lousa: √−1 = i. Você conclui, então, assustado: esses matemáticos são loucos! Certo?

Errado. Mas, para chegarmos a uma compreensão minimamente satisfatória sobre esse tema, precisamos entender melhor o que os números realmente são – e para que servem.

Uma das necessidades mais primitivas do ser humano, muito provavelmente, foi a de quantificar objetos no dia a dia. Assim, nossos ancestrais logo aprenderam a contar as coisas que faziam parte do seu cotidiano: três ovelhas, cinco filhos, dez dedos nas mãos, etc. Daí surgiram os ditos números naturais: aqueles que usamos para conferir.

Outra necessidade não menos natural era a de tratar objetos divididos em partes, ou seja, meia laranja, um terço de corda, duas vasilhas e meia de água; assim apareceram os chamados números fracionários.

Muito tempo depois, já com o desenvolvimento do comércio monetário, as pessoas passaram a lidar com dívidas e débitos; uma maneira conveniente de tratar isso era pensar no que hoje entendemos como números negativos. Os números naturais, juntamente com os negativos a eles associados, constituem o conjunto dos números inteiros; agregando as frações negativas às positivas, obtemos o conjunto dos números racionais (de razão, no sentido de divisão). Perceba que este último conjunto engloba todos os outros mencionados até aqui (qualquer inteiro pode ser representado por uma fração; por exemplo, 2 = 6/3). Já com a matemática bem mais desenvolvida, os intelectuais da área começaram a perceber que algo faltava. Alguns problemas pareciam intrigantes pois não podiam ser respondidos com os números conhecidos até então. Por exemplo, não parece haver nada que nos impeça de construir um quadrado de área igual a 2 unidades, correto? Pois bem, ocorre que, se o lado do quadrado for um número racional, a área nunca será exatamente igual a 2!

Os gregos perceberam esse fato e ficaram espantados. Séculos depois, os matemáticos passaram a aceitar a existência de números que não podem ser representados como razão de dois inteiros. Esses números foram então denominados irracionais e, juntamente com os racionais, formam o conjunto dos números reais. Um bom modelo intuitivo para este conjunto é a chamada reta numérica: dada uma reta, marque um ponto sobre ela, o qual será chamado origem e representará o número zero; fixada uma unidade de medida, cada ponto sobre a reta representa o valor numérico da sua distância até a origem, sendo que pontos à direita da origem representam números positivos, e à esquerda, números negativos. (É possível provar que existe uma “correspondência perfeita” entre os pontos da reta e os números reais: podemos associar a cada número um só ponto e vice-versa.)

Veja que cada “tipo” de número tem certas propriedades que o tornam útil para algumas finalidades e inútil para outras. Por exemplo: eu não sei quantas pessoas estão na mesma sala que você agora, mas sei que essa quantidade não é igual a 3,5. Eu não sei quantas vezes a população de moscas no planeta Terra é maior que a de formigas, mas esse número definitivamente não é irracional (lembre-se da definição dada acima!). Eu não sei com quantos paus se faz uma canoa, mas a resposta é certamente diferente de -7. Pode parecer bobagem, mas estes três exemplos ilustram algo fundamental em Matemática, que é a noção de conjunto universo: quando resolvemos um problema em busca de um resultado numérico, precisamos ter em mente qual é o conjunto dos possíveis valores que fazem sentido como resposta - e qualquer coisa fora desse conjunto passa a ser simplesmente desprovida de significado.

Pois bem, você já está habituado aos números reais (e seus subconjuntos) e já sabe que os diferentes conjuntos numéricos são aplicáveis a diferentes contextos. Talvez você não tenha percebido, mas todos os números, assim como qualquer outro objeto matemático, são abstrações. Com isso quero dizer que, embora possam ser (e são!) úteis para descrever coisas reais, os entes matemáticos não existem no sentido físico da palavra. Você não vê o número 2 caminhando no parque, ou uma reta tomando café na padaria. Ou seja, sempre que se fala de matemática, lida-se com idealizações e conceitos abstratos. Os próprios números reais, apesar de seu pretensioso nome, são abstratos. Você provavelmente aceita a existência deles porque já está condicionado, mas, se pensar bem, verá que, se o zero representa o nada e os números negativos são menores que zero, trata-se na verdade de uma quantidade menor que o nada. Quanto aos números irracionais, eles não podem nem ser “colocados no papel”: qualquer medida que se faça com uma régua dá como resposta um número racional. Perceba que você na verdade já lida com conceitos extremamente contraintuitivos, mas que funcionam maravilhosamente bem e servem para descrever diversas situações que surgem no mundo real. Se você acompanhou o raciocínio até aqui, provavelmente não vai ser difícil dar um passo além e admitir a existência de um novo conjunto numérico, que também engloba todos os anteriores. A ideia é muito simples: se os números reais são representados por pontos sobre uma reta, passaremos agora a marcar pontos fora da reta, mas ainda sobre o plano. Para isso precisamos apenas construir uma segunda reta, perpendicular à primeira e cruzando com ela na origem, também dotada de orientação e unidade de comprimento. Os números representados por estes pontos em duas dimensões são os números complexos, e aqueles que estão necessariamente fora da “reta real” são os números imaginários. Aqui, o termo complexo dá ideia de composto , e vem do fato de que esse tipo de número também pode ser representado em termos de números reais, mas para isso é sempre necessário um par (ordenado) de números reais - por exemplo, o par (1, 2) é o número complexo associado ao ponto do plano que tem coordenadas 1 e 2. Já o nome número imaginário é usado por razões históricas e foi cunhado numa época em que os matemáticos ainda relutavam em aceitar sua existência.

Uma vez estabelecida a ideia básica de número complexo, falta apenas definir operações no nosso novo conjunto numérico. Pois bem, não vamos entrar em detalhes técnicos sobre isso, mas, se você está habituado à ideia de vetores, tenha em mente que somar números complexos é exatamente como somar vetores, e multiplicar números complexos tem a ver com rotacionar vetores.

Se os números complexos são como pares de números reais, então parece razoável estabelecer duas unidades neste conjunto. Uma delas é a unidade propriamente dita, que já conhecemos dos números reais: o número 1 - que, na linguagem dos complexos, é melhor caracterizado pelo par (1, 0), ou seja, 1 no eixo real, 0 no eixo imaginário (aquela reta perpendicular que nós construímos). A outra, como você deve imaginar, é o par (0, 1), que foi batizado de unidade imaginária e é denotado pela letra i. Ocorre que, em consequência da regra multiplicação que se definiu para os números complexos (a mesma que está relacionada à rotação de vetores), temos (0, 1) x (0, 1) = (-1, 0). Talvez você tenha percebido que se trata da famigerada equação: i2 = -1. Veja que não há nada de imoral nisso: ainda é verdade que um número real multiplicado por si mesmo resulta sempre positivo ou nulo; apenas criamos um novo sistema numérico onde essa regra geral deixa de ser válida.

Agora falta apenas ressaltar que os números complexos, com todas as características comentadas acima, são de extrema relevância para descrever o mundo real (pasme!). Além de serem fundamentais para a matemática pura (e de permitirem uma compreensão bem mais rica sobre a própria natureza dos números reais), os números complexos têm aplicações em diversas áreas da Física. Cabe ressaltar que tais números são uma ferramenta essencial quando se resolve um tipo muito importante de equação - as equações diferenciais - e, além disso, aparecem de maneira natural na mecânica quântica. Isso não quer dizer que eles possam surgir magicamente em qualquer lugar. Lembre-se da noção de conjunto universo: não podemos medir a velocidade de uma partícula e encontrar um número imaginário como resposta. Em certos contextos, porém, tais números fazem bastante sentido, e ajudam a fazer previsões sobre o mundo real.

Antes de finalizarmos, algo precisa ficar muito claro. Talvez em algum momento nesta leitura você tenha ficado com a impressão de que, se todos os números são abstrações, então podemos criar qualquer conjunto numérico que nos “der na telha” porque a Matemática permite. Pois bem, não é assim que funciona. Sistemas numéricos (e outros conjuntos com estruturas mais gerais), para fazerem sentido matematicamente, precisam, em primeiro lugar, ter consistência lógica. Isso significa, por exemplo, que se você cria um conjunto e define operações de tal maneira que as operações definidas levam a conclusões absurdas dentro da própria estrutura do conjunto, então você cometeu um erro. Além disso, para que um conjunto inventado tenha relevância dentro da ciência da Matemática, ele precisa de alguma forma se relacionar a outras áreas pré-existentes do conhecimento matemático. Por fim, um sistema numérico só vai se tornar amplamente relevante dentro e fora da matemática pura se ele for de interesse de outras ciências, ou seja, se ele for aplicável à descrição de fenômenos físicos, por exemplo. Ocorre que os números complexos têm a importância que têm justamente porque satisfazem todos os “critérios” aqui enunciados.

Portanto, abra a sua mente! Estudar Matemática envolve lidar com construções mentais abstratas e é aí que mora boa parte da beleza dessa ciência. Tome cuidado, apenas, para não pensar que fazer Matemática se resume a ficar com a cabeça nas nuvens imaginando números.

Agradeço ao prof. Dr. Valdir Antonio Menegatto, do ICMC/USP, pela revisão final ao texto.


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