Caleidoscópio
02/04/2018

É difícil, eu sei. Você passa a vida inteira ouvindo que não se pode tirar raiz quadrada de números negativos, e no Ensino Médio chega um belo dia em que o professor escreve na lousa: √−1 = i. Você conclui, então, assustado: esses matemáticos são loucos! Certo?

Errado. Mas, para chegarmos a uma compreensão minimamente satisfatória sobre esse tema, precisamos entender melhor o que os números realmente são – e para que servem.

Uma das necessidades mais primitivas do ser humano, muito provavelmente, foi a de quantificar objetos no dia a dia. Assim, nossos ancestrais logo aprenderam a contar as coisas que faziam parte do seu cotidiano: três ovelhas, cinco filhos, dez dedos nas mãos, etc. Daí surgiram os ditos números naturais: aqueles que usamos para conferir.

Outra necessidade não menos natural era a de tratar objetos divididos em partes, ou seja, meia laranja, um terço de corda, duas vasilhas e meia de água; assim apareceram os chamados números fracionários.

Muito tempo depois, já com o desenvolvimento do comércio monetário, as pessoas passaram a lidar com dívidas e débitos; uma maneira conveniente de tratar isso era pensar no que hoje entendemos como números negativos. Os números naturais, juntamente com os negativos a eles associados, constituem o conjunto dos números inteiros; agregando as frações negativas às positivas, obtemos o conjunto dos números racionais (de razão, no sentido de divisão). Perceba que este último conjunto engloba todos os outros mencionados até aqui (qualquer inteiro pode ser representado por uma fração; por exemplo, 2 = 6/3). Já com a matemática bem mais desenvolvida, os intelectuais da área começaram a perceber que algo faltava. Alguns problemas pareciam intrigantes pois não podiam ser respondidos com os números conhecidos até então. Por exemplo, não parece haver nada que nos impeça de construir um quadrado de área igual a 2 unidades, correto? Pois bem, ocorre que, se o lado do quadrado for um número racional, a área nunca será exatamente igual a 2!

Os gregos perceberam esse fato e ficaram espantados. Séculos depois, os matemáticos passaram a aceitar a existência de números que não podem ser representados como razão de dois inteiros. Esses números foram então denominados irracionais e, juntamente com os racionais, formam o conjunto dos números reais. Um bom modelo intuitivo para este conjunto é a chamada reta numérica: dada uma reta, marque um ponto sobre ela, o qual será chamado origem e representará o número zero; fixada uma unidade de medida, cada ponto sobre a reta representa o valor numérico da sua distância até a origem, sendo que pontos à direita da origem representam números positivos, e à esquerda, números negativos. (É possível provar que existe uma “correspondência perfeita” entre os pontos da reta e os números reais: podemos associar a cada número um só ponto e vice-versa.)

Veja que cada “tipo” de número tem certas propriedades que o tornam útil para algumas finalidades e inútil para outras. Por exemplo: eu não sei quantas pessoas estão na mesma sala que você agora, mas sei que essa quantidade não é igual a 3,5. Eu não sei quantas vezes a população de moscas no planeta Terra é maior que a de formigas, mas esse número definitivamente não é irracional (lembre-se da definição dada acima!). Eu não sei com quantos paus se faz uma canoa, mas a resposta é certamente diferente de -7. Pode parecer bobagem, mas estes três exemplos ilustram algo fundamental em Matemática, que é a noção de conjunto universo: quando resolvemos um problema em busca de um resultado numérico, precisamos ter em mente qual é o conjunto dos possíveis valores que fazem sentido como resposta - e qualquer coisa fora desse conjunto passa a ser simplesmente desprovida de significado.

Pois bem, você já está habituado aos números reais (e seus subconjuntos) e já sabe que os diferentes conjuntos numéricos são aplicáveis a diferentes contextos. Talvez você não tenha percebido, mas todos os números, assim como qualquer outro objeto matemático, são abstrações. Com isso quero dizer que, embora possam ser (e são!) úteis para descrever coisas reais, os entes matemáticos não existem no sentido físico da palavra. Você não vê o número 2 caminhando no parque, ou uma reta tomando café na padaria. Ou seja, sempre que se fala de matemática, lida-se com idealizações e conceitos abstratos. Os próprios números reais, apesar de seu pretensioso nome, são abstratos. Você provavelmente aceita a existência deles porque já está condicionado, mas, se pensar bem, verá que, se o zero representa o nada e os números negativos são menores que zero, trata-se na verdade de uma quantidade menor que o nada. Quanto aos números irracionais, eles não podem nem ser “colocados no papel”: qualquer medida que se faça com uma régua dá como resposta um número racional. Perceba que você na verdade já lida com conceitos extremamente contraintuitivos, mas que funcionam maravilhosamente bem e servem para descrever diversas situações que surgem no mundo real. Se você acompanhou o raciocínio até aqui, provavelmente não vai ser difícil dar um passo além e admitir a existência de um novo conjunto numérico, que também engloba todos os anteriores. A ideia é muito simples: se os números reais são representados por pontos sobre uma reta, passaremos agora a marcar pontos fora da reta, mas ainda sobre o plano. Para isso precisamos apenas construir uma segunda reta, perpendicular à primeira e cruzando com ela na origem, também dotada de orientação e unidade de comprimento. Os números representados por estes pontos em duas dimensões são os números complexos, e aqueles que estão necessariamente fora da “reta real” são os números imaginários. Aqui, o termo complexo dá ideia de composto , e vem do fato de que esse tipo de número também pode ser representado em termos de números reais, mas para isso é sempre necessário um par (ordenado) de números reais - por exemplo, o par (1, 2) é o número complexo associado ao ponto do plano que tem coordenadas 1 e 2. Já o nome número imaginário é usado por razões históricas e foi cunhado numa época em que os matemáticos ainda relutavam em aceitar sua existência.

Uma vez estabelecida a ideia básica de número complexo, falta apenas definir operações no nosso novo conjunto numérico. Pois bem, não vamos entrar em detalhes técnicos sobre isso, mas, se você está habituado à ideia de vetores, tenha em mente que somar números complexos é exatamente como somar vetores, e multiplicar números complexos tem a ver com rotacionar vetores.

Se os números complexos são como pares de números reais, então parece razoável estabelecer duas unidades neste conjunto. Uma delas é a unidade propriamente dita, que já conhecemos dos números reais: o número 1 - que, na linguagem dos complexos, é melhor caracterizado pelo par (1, 0), ou seja, 1 no eixo real, 0 no eixo imaginário (aquela reta perpendicular que nós construímos). A outra, como você deve imaginar, é o par (0, 1), que foi batizado de unidade imaginária e é denotado pela letra i. Ocorre que, em consequência da regra multiplicação que se definiu para os números complexos (a mesma que está relacionada à rotação de vetores), temos (0, 1) x (0, 1) = (-1, 0). Talvez você tenha percebido que se trata da famigerada equação: i2 = -1. Veja que não há nada de imoral nisso: ainda é verdade que um número real multiplicado por si mesmo resulta sempre positivo ou nulo; apenas criamos um novo sistema numérico onde essa regra geral deixa de ser válida.

Agora falta apenas ressaltar que os números complexos, com todas as características comentadas acima, são de extrema relevância para descrever o mundo real (pasme!). Além de serem fundamentais para a matemática pura (e de permitirem uma compreensão bem mais rica sobre a própria natureza dos números reais), os números complexos têm aplicações em diversas áreas da Física. Cabe ressaltar que tais números são uma ferramenta essencial quando se resolve um tipo muito importante de equação - as equações diferenciais - e, além disso, aparecem de maneira natural na mecânica quântica. Isso não quer dizer que eles possam surgir magicamente em qualquer lugar. Lembre-se da noção de conjunto universo: não podemos medir a velocidade de uma partícula e encontrar um número imaginário como resposta. Em certos contextos, porém, tais números fazem bastante sentido, e ajudam a fazer previsões sobre o mundo real.

Antes de finalizarmos, algo precisa ficar muito claro. Talvez em algum momento nesta leitura você tenha ficado com a impressão de que, se todos os números são abstrações, então podemos criar qualquer conjunto numérico que nos “der na telha” porque a Matemática permite. Pois bem, não é assim que funciona. Sistemas numéricos (e outros conjuntos com estruturas mais gerais), para fazerem sentido matematicamente, precisam, em primeiro lugar, ter consistência lógica. Isso significa, por exemplo, que se você cria um conjunto e define operações de tal maneira que as operações definidas levam a conclusões absurdas dentro da própria estrutura do conjunto, então você cometeu um erro. Além disso, para que um conjunto inventado tenha relevância dentro da ciência da Matemática, ele precisa de alguma forma se relacionar a outras áreas pré-existentes do conhecimento matemático. Por fim, um sistema numérico só vai se tornar amplamente relevante dentro e fora da matemática pura se ele for de interesse de outras ciências, ou seja, se ele for aplicável à descrição de fenômenos físicos, por exemplo. Ocorre que os números complexos têm a importância que têm justamente porque satisfazem todos os “critérios” aqui enunciados.

Portanto, abra a sua mente! Estudar Matemática envolve lidar com construções mentais abstratas e é aí que mora boa parte da beleza dessa ciência. Tome cuidado, apenas, para não pensar que fazer Matemática se resume a ficar com a cabeça nas nuvens imaginando números.

Agradeço ao prof. Dr. Valdir Antonio Menegatto, do ICMC/USP, pela revisão final ao texto.



Categorias
Ciência e cotidiano
Como descobrimos coisas?
Mulheres na ciência
A arte de ensinar
Por que tudo acontece?
Do que tudo é feito?
O mundo dos números
O que nos faz vivos?
Um pouco de fantasia
Sobre
Um veículo de transmissão do conhecimento científico onde o principal foco é tentar expor esse conhecimento de maneira simples, acessível ao grande público, e com ênfase no que há de belo e interessante. Não deixemos morrer a nossa curiosidade!